趣題巧解

趣題巧解
生活中的許多事都蘊含著數學思想，我們先看一個猜數遊戲。甲心中想一個32以內的數，乙只許問“比某數大嗎？”甲只回答“是”或“不”，那麼乙最多5次必可猜中。比如甲想的是23，下面是5次提問與回答：
　　（1）“比16大嗎？”，“是”；（2）“比24大嗎？”，“不”；
　　（3）“比20大嗎？”，“是”；（4）“比22大嗎？”，“是”；
　　（5）“比23大嗎？”，“不”。於是乙猜中甲想的23。
　　這裡乙用的是對分法。32的一半是16，第1次問話後，乙知道甲想的數在17～32之間； 17～32中間的數是24，第二次問話後，乙知道甲想的數在17～24之間。依此類推，因為32=25，經5次對分，必猜中。
　　
例1

有1000箱外形完全相同的產品，其中999箱重量相同，有1箱次品重量較輕。現有一個稱（一次可稱量500箱），怎樣才能儘快找出這箱次品？

分析與解：因為稱量一次只有兩種結果：等於規定重量或輕於規定重量，所以可用對分法。先取500箱稱，若等於規定重量，則次品在另500箱中；若輕於規定重量，則次品在這500箱中。然後對有次品的500箱再對分，取其中的250箱稱……因為1000＜1024=210，所以經過10次稱必可查出次品。

例2 現有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量較輕的假珍珠，怎樣才能用一台天平儘快地將這粒假珍珠挑出來？

分析與解：因為天平稱重有三種結果；①兩邊一樣重，②左邊重，③右邊重，所以可以用三分法。
先將81粒珍珠三等分，在天平兩邊各放27粒珍珠，天平下還有27粒。若兩邊一樣重，則假珍珠在天平下的27粒中；若左邊重，則假珍珠在天平右邊的27粒中；若右邊重，則假珍珠在天平左邊的27粒中。
　　然後再將有假珍珠的一堆三等份，繼續上面的做法。因為81=34，所以只需要稱4次就可將假珍珠挑出來。

例3

某商店出售啤酒，規定每5個空啤酒瓶能換1瓶啤酒。張叔叔家買了80瓶啤酒，喝完後再按規定用空啤酒瓶去換啤酒，那麼他們家前後共能喝到多少瓶啤酒？

分析與解：我們按照實際換酒過程分析：
喝掉80瓶啤酒，用80個空瓶換回16瓶啤酒；
喝掉16瓶啤酒，用16個空瓶換回3瓶啤酒餘1個空瓶；
喝掉3瓶啤酒，連上次餘下的1個空瓶還剩4個空瓶。此時，再借1個空瓶，與剩下的4個空瓶一起又可換回1瓶啤酒，喝完後將空瓶還了。
所以，他們家前後共喝到啤酒80+16+3+1=100（瓶）。
解例3的關鍵是：正確運用“5個空瓶可換1瓶啤酒”這個條件，特別是最後一次換瓶的技巧，你不充分利用可就“吃虧了”！但如果一開始酒的瓶數很多，那麼這個換酒的過程就會很長。有沒有簡便的演算法呢？注意到“每5個空瓶可換一瓶啤酒”（連酒帶瓶）這個條件，可知每4個空瓶就能換到一瓶啤酒（不帶瓶），那麼喝剩的80個空瓶共能換到20瓶啤酒，所以張叔叔家前後共能喝到80+20=100（瓶）啤酒。綜合式是80+80÷（5-1）=100（瓶）。
　　

例4

一塊鋼錠可以鑄成25個機器零件的毛坯，每加工5個機器零件的毛坯所剩的腳料又可以鑄成一個機器零件的毛坯。現在有這種鋼錠10塊，最多可以加工多少個機器零件？

分析與解：這類“鑄坯加工零件”問題顯然也屬於“空瓶換酒”問題。由“每加工5個機器零件的毛坯所剩的腳料又可鑄成一個機器零件的毛坯”可知，實際每加工5個機器零件只需要4個機器零件的毛坯（沒有腳料），即每（個）機器零件。注意，此處不能使用四捨五入，只能使用去尾法。綜合式是
也可以這樣想：因為每加工5個機器零件只需要4個機器零件毛坯（沒有
10≈312（個）機器零件。綜合式是
　
例5

5個空瓶可以換一瓶汽水，某班同學喝了189瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那麼他們至少要買多少瓶？

分析與解：本題告訴了按空瓶換汽水的原則和共能喝到的汽水，反過來求原先至少要買的汽水瓶數。根據“5個空瓶可以換1瓶汽水”（連汽水帶瓶）
能喝到189瓶汽水呢？顯然至少應買汽水
注意，此處不能使用四捨五入，只能使用收尾法。綜合式是
　　

例6

甲,乙兩人輪流往一個圓桌面上放同樣大小的硬幣。規則是：每人每次只能放一枚，硬幣不許重疊，誰放完最後一枚硬幣而使對方再也無處可放，誰就獲勝。如果甲先放，那麼他怎樣放才能取勝？
　
分析與解：這道題初看太抽象，既不知道圓桌的大小，又不知道硬幣的大小，誰知道該怎樣放呀！我們用對稱的思想來分析一下。圓是關於圓心對稱的圖形，若A是圓內除圓心外的任意一點，則圓內一定有一點B與A關於圓心對稱（見右圖，其中AO=OB）。所以，圓內除圓心外，任意一點都有一個（關於圓心的）對稱點。由此可以想到，只要甲把第一枚硬幣放在圓桌面的圓心處，以後無論乙將硬幣放在何處，甲一定能找到與之對稱的點放置硬幣。也就是說，只要乙能放，甲就一定能放。最後無處可放硬幣的必是乙。
甲的獲勝策略是：把第一枚硬幣放到圓桌面的圓心處，以後總在乙上次放的硬幣的對稱點放置硬幣。
這種利用對稱思想的獲勝策略體現出了一種機智，而這種機智來源於數學思想。同學們經常進行這種鍛煉，就會變得越來越聰明。比如，有兩堆火柴，第一堆20根，第二堆25根，甲、乙二人輪流從中取火柴，每次可以從任一堆中取走任意數量的火柴，取走最後一根火柴者勝。甲先取，怎樣才能保證獲勝？利用對稱的思想分析，只要甲先從第二堆中取走5根，此時兩堆火柴的數量相等（也是一種對稱），以後無論乙從哪一堆取多少根火柴，甲都對稱地從另一堆取相同數量的火柴，只要乙能取，甲就能取，所以最後一根必被甲取走，甲勝。